HISTORIA DE
LA
La historia de las matemáticas es el área de estudio que abarca las
investigaciones sobre los orígenes de los descubrimientos en matemáticas,
de los métodos matemáticos, de la evolución de sus conceptos y también en
cierto grado, de los matemáticos involucrados.
Antes de la edad
moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos
escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz solo en unos pocos
escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de
barro Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), el papiro de
Moscú (c.
1850 a. C.), el papiro de
Rhind (c.
1650 a. C.) y los textos védicos Shulba Sutras (c. 800 a. C.). En todos
estos textos se menciona el teorema de Pitágoras, que parece ser el
más antiguo y extendido desarrollo matemático después de la aritmética básica y la geometría.
Tradicionalmente
se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer
los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos.
Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión
amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.
Las matemáticas
egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los
métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos
propios de esta ciencia.1 La matemática en el islam medieval,
a su vez, desarrolló y extendió las matemáticas conocidas por estas
civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y árabes de matemáticas
fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las
matemáticas en la Edad Media.
Desde el renacimiento italiano, en el siglo XVI, los nuevos
desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos
contemporáneos, han ido creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.
Los Inicios de la Matemática
Prehistoria.
Mucho antes de los
primeros registros escritos, hay dibujos que indican algún conocimiento de
matemáticas elementales y de la medida del tiempo basada en las estrellas. Por
ejemplo, los paleontólogos han descubierto rocas de ocre en una
caverna de Sudáfrica de aproximadamente 70.000 años de antigüedad, que están
adornados con hendiduras en forma de patrones geométricos.2 También se descubrieron artefactos prehistóricos en África y Francia, datados entre el 35.000 y
el 20.000 a. C., que sugieren intentos iniciales de
cuantificar el tiempo.
Hay evidencias de
que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo menstrual:
de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más aún,
los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos y muchos,
así como la idea de ninguno o cero,
cuando hablaban de manadas de animales. El hueso de
Ishango, encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste
del Congo, puede datar de antes del 20.000 a. C. Una interpretación
común es que el hueso supone la demostración más antigua conocida de una secuencia de números
primos y de la multiplicación por duplicación (aunque esto no ha sido probado).
Primeras civilizaciones
En el periodo predinástico de Egipto del V milenio a. C. se
representaban pictóricamente diseños espaciales geométricos. Se ha afirmado que
los monumentos megalíticos en Inglaterra y Escocia, del
III milenio a. C., incorporan ideas geométricas tales como círculos,elipses y ternas pitagóricas en su diseño.
Las primeras
matemáticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 - 2600 a. C.,
en la Cultura del Valle del Indo (civilización Harappa) del norte de la
India y Pakistán. Esta civilización desarrolló un sistema de medidas y pesas
uniforme que usaba el sistema decimal, una sorprendentemente
avanzada tecnología con ladrillos para representar razones, calles dispuestas en perfectos ángulos
rectos y una serie de
formas geométricas y diseños, incluyendo cuboides, barriles, conos, cilindros y diseños de círculos y triángulos
concéntricos y secantes. Los instrumentos matemáticos empleados incluían una
exacta regla decimal con subdivisiones pequeñas y precisas, unas estructuras
para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un
instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la
navegación. La escritura
hindú no ha sido
descifrada todavía, de ahí que se sepa muy poco sobre las formas escritas de
las matemáticas en Harappa. Hay evidencias
arqueológicas que han llevado a algunos a sospechar que esta civilización usaba
un sistema de numeración de base octal y tenían un valor para π,
la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
Por su parte, las
primeras matemáticas en China datan de la Dinastía
Shang (1600 − 1046 a. C.)
y consisten en números marcados en un caparazón de tortuga. Estos números fueron representados
mediante una notación decimal. Por ejemplo, el número 123 se escribía, de
arriba a abajo, como el símbolo para el 1 seguido del símbolo para 100, luego
el símbolo para el 2 seguido del símbolo para 10 y, por último, el símbolo para
el 3. Este era el sistema de numeración más avanzado en su tiempo y permitía
hacer cálculos para usarlos con el suanpan o el ábaco chino. La fecha de
invención del suanpan no se conoce con certeza, pero la
mención escrita más antigua data del 190 d. C., en Notas suplementarias sobre el Arte
de las Cifras, de Xu Yue's.
Antiguo Oriente Proximo (c. 1800 a.C- 500a.C.)
Matemática babilónica.
Las matemáticas babilónicas hacen referencia a las matemáticas
desarrolladas por la gente de Mesopotamia,
el actual Irak, desde los días de los primeros sumerios,
hasta el inicio del periodo helenístico. Se llaman matemáticas
babilónicas debido al papel central de Babilonia como lugar de estudio, que dejó de
existir durante el periodo helenístico. Desde este punto, las matemáticas
babilónicas se fundieron con las matemáticas griegas y egipcias para dar lugar
a las matemáticas helenísticas. Más tarde, bajo
el Imperio árabe,
Mesopotamia, especialmente Bagdad, volvió
a ser un importante centro de estudio para lasmatemáticas islámicas.
En contraste con
la escasez de fuentes en las matemáticas egipcias, el conocimiento sobre las
matemáticas en Babilonia se deriva de más de 400 tablillas de arcilla desveladas desde 1850. Labradas en escritura cuneiforme, fueron grabadas
mientras la arcilla estaba húmeda y cocidas posteriormente en un horno o
secadas al sol. Algunas de ellas parecen ser tareas graduadas.
Las evidencias más
tempranas de matemáticas escritas datan de los antiguos sumerios,
que constituyeron la civilización primigenia en Mesopotamia. Los sumerios
desarrollaron un sistema complejo de metrología desde el 3000 a. C. Desde alrededor del 2500 a. C.en
adelante, los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y trataron
ejercicios geométricos y problemas de división. Las señales más tempranas de los
numerales babilónicos también datan de ese periodo.
La mayoría de las
tabletas de arcilla recuperadas datan del 1800 al 1600 a. C. y
abarcan tópicos que incluyen fracciones, álgebra, ecuaciones cuadráticas y
cúbicas y el cálculo de primos
gemelos regulares recíprocos (véase Plimpton 322). Las tablillas también incluyen tablas
de multiplicar y métodos para resolver ecuaciones
lineales y ecuaciones cuadráticas. La tablilla babilónica YBC 7289da una aproximación de √2 con una exactitud de cinco posiciones
decimales.
Las matemáticas
babilónicas fueron escritas usando un sistema de numeración sexagesimal (base 60). De ahí se deriva la
división de un minuto en 60 segundos y de una hora en 60 minutos, así como la
de un círculo en 360 (60 × 6) grados y las subdivisiones sexagesimales de esta
unidad de medida de ángulos en minutos y segundos. Los avances babilónicos en
matemáticas fueron facilitados por el hecho de que el número 60 tiene muchos divisores. También, a diferencia de los
egipcios, griegos y romanos, los babilonios tenían un verdadero sistema de
numeración posicional, donde los dígitos escritos a la izquierda representaban
valores de orden superior, como en nuestro actual sistema decimal de numeración. Carecían,
sin embargo, de un equivalente a la coma decimal y así, el verdadero valor de
un símbolo debía deducirse del contexto.
Egipto
Matemáticas
en el Antiguo Egipto
Las matemáticas en
el Antiguo
Egipto se refieren a
las matemáticas escritas en las lenguas
egipcias. Desde el periodo helenístico, el griego sustituyó al egipcio como el lenguaje
escrito de los escolares egipcios y desde ese momento las matemáticas egipcias
se fundieron con las griegas y babilónicas para dar lugar a la matemática helénica. El estudio de las
matemáticas en Egipto continuó más tarde bajo el influjo árabe como parte de
las matemáticas islámicas,
cuando el árabe se convirtió en el lenguaje escrito de
los escolares egipcios.
El texto
matemático más antiguo descubierto es el papiro de
Moscú, que data del Imperio Medio de Egipto, hacia el
2000-1800 a. C. Como muchos textos antiguos, consiste en lo que hoy
se llaman problemas con palabras oproblemas con historia, que
tienen la intención aparente de entretener. Se considera que uno de los
problemas es de particular importancia porque ofrece un método para encontrar
el volumen de un tronco: "Si te dicen: Una pirámide
truncada [de base cuadrada] de 6 de altura vertical, por 4 en la base [base
inferior] y 2 en lo alto [base superior]. Haces el cuadrado de 4 y resulta 16.
Doblas 4 y resulta 8. Haces el cuadrado de 2 y resulta 4. Sumas el 16, el 8 y
el 4 y resulta 28. Tomas un tercio de 6 y resulta 2. Tomas 28 dos veces y
resulta 56. Mira, es 56. Encontrarás lo correcto."
El papiro de
Rhind (hacia 1650 a. C.) es otro texto
matemático egipcio fundamental, un manual de instrucciones en aritmética y
geometría. En resumen, proporciona fórmulas para calcular áreas y métodos para
la multiplicación, división y trabajo con fracciones unitarias. También
contiene pruebas de otros conocimientos matemáticos, incluyendo números compuestos y primos, media aritmética, geométrica y armónica,
y una comprensión simple de la criba de Eratóstenes y la teoría de
números perfectos (a
saber, del número 6). El papiro también muestra cómo resolver ecuaciones
lineales de primer
orden, así como series aritméticas y series geométricas.
Además, tres
elementos geométricos del papiro de Rhind sugieren los rudimentos de la geometría analítica: cómo obtener una
aproximación de 
con un error menor del 1%; un antiguo
intento de cuadrar el círculo; y el uso más antiguo
conocido de un tipo de cotangente.
con un error menor del 1%; un antiguo
intento de cuadrar el círculo; y el uso más antiguo
conocido de un tipo de cotangente.
Finalmente, el papiro de Berlín (hacia 1300 a. C.) muestra que los antiguos egipcios
podían resolver una ecuación cuadrática.
Matemática en la
Antigua India (del 900 a. C. al 200 d.C)
Los registros más
antiguos existentes de la India son los Sulba Sutras(datados
de aproximadamente entre el siglo VIII a.C. y II d.C), apéndices de textos religiosos con
reglas simples para construir altares de formas diversas, como cuadrados,
rectángulos, paralelogramos y otros. Al igual que con Egipto, las preocupaciones
por las funciones del templo señala un origen de las matemáticas en rituales
religiosos. En los Sulba Sutras se encuentran métodos para construir círculos con aproximadamente la misma área que un
cuadrado, lo que implica muchas aproximaciones diferentes del número π. Adicionalmente, obtuvieron el valor de
la raíz cuadradade
2 con varias cifras de aproximación, listas de ternas pitagóricas y el
enunciado del teorema de Pitágoras. Todos estos
resultados están presentes en la matemática babilónica, lo cual indica una
fuerte influencia de Mesopotamia. No resulta claro, sin embargo, hasta qué
punto los Sulba Sutras influenciaron las matemáticas indias
posteriores. Al igual que en China, hay una falta de continuidad en la
matemática india; significativos avances se alternan con largos períodos de
inactividad.
Panini (hacia el siglo V a. C.)
formuló las reglas de la gramática del sánscrito.
Su notación fue similar a la notación matemática moderna y usaba
"metarreglas", transformaciones lineales y recursiones.
Pingala (aproximadamente de los siglos III al IV a. C.)
en su tratado de prosodia,
usa un dispositivo correspondiente a un sistema
binario de numeración. Su discusión sobre la combinatoria de métricas
musicales corresponde
a una versión elemental del teorema del binomio. La obra de Pingala también
contiene ideas básicas sobre los números de Fibonacci, llamados mātrāmeru.
Matemática en Grecia Antigua (desde el 600 a.C. hasta el 300d.C.
Las
matemáticas griegas hacen referencia a las matemáticas escritas en griego desde
el 600 a. C. hasta el 300 d. C. Los matemáticos griegos
vivían en ciudades dispersas a lo largo del Mediterráneo Oriental, desde Italia hasta
el Norte de África, pero estaban unidas por un
lenguaje y una cultura común. Las matemáticas griegas del periodo siguiente aAlejandro
Magno se llaman en ocasiones Matemáticas helenísticas.
Las
matemáticas griegas eran más sofisticadas que las matemáticas que habían
desarrollado las culturas anteriores. Todos los registros que quedan de las
matemáticas pre-helenísticas muestran el uso del razonamiento inductivo, esto
es, repetidas observaciones usadas para establecer reglas generales. Los
matemáticos griegos, por el contrario, usaban el razonamiento deductivo. Los
griegos usaron la lógica para deducir conclusiones, o teoremas,
a partir de definiciones y axiomas. La idea de las matemáticas como un
entramado de teoremas sustentados en axiomas está explícita en los Elementos de Euclides (hacia
el 300 a. C.).
Se cree que
las matemáticas griegas comenzaron con Tales (hacia
624 a.C – 546 a.C) y Pitágoras (hacia 582 a. C. -
507 a. C.). Aunque el alcance de su influencia puede ser discutido,
fueron inspiradas probablemente por las matemáticas egipcias, mesopotámicas e
indias. Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para aprender matemáticas,
geometría y astronomía de los sacerdotes egipcios.
Tales usó la
geometría para resolver problemas tales como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los
barcos desde la orilla. Se atribuye a Pitágoras la primera demostración del teorema que lleva su nombre, aunque el
enunciado del teorema tiene una larga historia.26 En
su comentario sobre Euclides, Proclo afirma que Pitágoras expresó el teorema que lleva
su nombre y construyóternas pitagóricas algebraicamente antes
que de forma geométrica. La Academia de Platón tenía como lema
"Que no pase nadie que no sepa Geometría".
Los Pitagóricos probaron
la existencia de números irracionales. Eudoxio (408
al 355 a. C.) desarrolló el método exhaustivo, un precursor de la moderna integración. Aristóteles (384
al 322 a. C.) fue el primero en dar por escrito las leyes de la lógica. Euclides(hacia
el 300 a. C.) dio el ejemplo más temprano de la metodología
matemática usada hoy día, con definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones.
También estudió las cónicas. Su libro Elementos fue
conocido por todo el mundo occidental culto hasta la mitad del siglo XX. Además
de los teoremas familiares sobre geometría, tales como el Teorema de Pitágoras, "Los
elementos" incluye una demostración de que la raíz cuadrada de dos es un
número irracional y otra sobre la infinitud de los números primos. La Criba de Eratóstenes (hacia
230 a. C.) fue usada para el descubrimiento de números primos.
Arquímedes de Siracusa (hacia 287-212 a. C.)
usó el método exhaustivo para calcular el área bajo
un arco de parábola con ayuda de lasuma de una serie infinita y dio una
aproximación notablemente exacta de pi. También
estudió la espiral, dándole su nombre, fórmulas para
el volumen de superficies de revolución y un
ingenioso sistema para la expresión de números muy grandes.
Matemática en la China clásica (c. 500 a.C. -1300 d. C.)
En China, el emperador Qin Shi Huang (Shi
Huang-ti) ordenó en el 212 a. C. que
todos los libros de fuera del estado de Qin fueran quemados. El mandato no fue
obedecido por todo el mundo, pero como consecuencia se conoce muy poco acerca
de la matemática en la China ancestral.
Desde la Dinastía Zhou,
a partir del 1046 a. C., el libro de matemáticas
más antiguo que sobrevivió a la quema fue el I Ching,
que usa trigramas y hexagramas para propósitos filosóficos, matemáticos y
místicos. Estos objetos matemáticos están compuestos de líneas enteras o
divididas llamadas yin (femenino) y yang (masculino), respectivamente (véase Secuencia del Rey Wen).
La obra más
antigua sobre geometría en China viene de canon filosófico mohista,
hacia el330 a. C., recopilado por los
acólitos de Mozi (470-390
a.c.). El Mo Jing describió varios aspectos de muchos campos
relacionados con la física así como proporcionó una pequeña dosis de
matemáticas.
Después de
la quema de libros, la dinastía Han (202
a.C - 220 d.C) produjo obras matemáticas que presumiblemente abundaban en
trabajos que se habían perdido. La más importante de estas es Los nueve capítulos sobre el arte
matemático, cuyo título completo apareció hacia el
179 d. C., pero existía anteriormente en parte bajo otros títulos. La
obra consiste en 246 problemas en palabras que involucran agricultura,
negocios, usos geométricos para establecer las dimensiones de laspagodas,
ingeniería, agrimensura y nociones sobre triángulos rectángulos y π. También se usa el Principio de Cavalieri sobre
volúmenes más de mil años antes de que el propio Cavalieri lo formulara en
Occidente. Se crearon pruebas sobre el Teorema de Pitágoras y una
formulación matemática de la eliminación de Gauss-Jordan. Liu Hui hizo
un comentario de la obra hacia el siglo III d. C.
En resumen,
las obras matemáticas del Han astrónomo e inventor Zhang Heng (78–139 d. C.)
contenían una formulación para pitambién,
la cual difería de los cálculos de Liu Hui. Zhang Heng usó su fórmula de pi
para encontrar volúmenes esféricos. Estaban también los trabajos escritos del
matemático y teórico de la música Jing Fang (78–37 a. C.);
mediante el uso de la coma
pitagórica, Jing observó que 53 quintas justas se
aproximan a 31 octavas. Esto llevaría más tarde al descubrimiento del
temperamento igual que divide a la octava en 53 partes iguales y no volvería a
ser calculado con tanta precisión hasta que en el siglo XVII lo hiciese el
alemánNicholas Mercator.
Los chinos
también hicieron uso de diagramas combinatorios complejos conocidos como cuadrado
mágico y círculo mágico, descritos
en tiempos ancestrales y perfeccionados por Yang Hui (1238–1398 d. C.).
Zu Chongzhi (siglo
V) de las Dinastías del
Sur y del Norte calculó el valor de π hasta siete lugares
decimales, lo que daba lugar al valor de π más exacto durante casi 1000 años.
Incluso
después de que las matemáticas europeas comenzasen a florecer durante el Renacimiento,
las matemáticas chinas y europeas mantuvieron tradiciones separadas, con un
significativo declive de las chinas, hasta que misioneros jesuitas como Matteo Ricci intercambiaron
las ideas matemáticas entre las dos culturas entre los siglos XVI y XVIII.
Matemática en Japón.
La
matemática que se desarrolla en Japón durante el período Edo (1603
- 1887), es independiente de la matemática occidental; a este período
pertenece el matemático Seki Kōwa,
de gran influencia por ejemplo, en el desarrollo del wasan (matemática
tradicional japonesa), y cuyos descubrimientos (en áreas como el cálculo integral), son casi simultáneos a los
matemáticos contemporáneos europeos como Gottfried
Leibniz.
La
matemática japonesa de este período se inspira de la matemática china, está
orientada a problemas esencialmente geométricos. Sobre tablillas de madera
llamadas sangaku, son propuestos y resueltos «enigmas geométricos»;
de allí proviene, por ejemplo, el teorema del
sexteto de Soddy.
Matemática en la India clásica (hacia 400 – 1600)
Los avances
en matemática india posteriores a los Sulba Sutras son
los Siddhantas, tratados astronómicos de
los siglos IV y V d.C. (período Gupta)
que muestran una fuerte influencia helénica. Son significativos en
cuanto a que contienen la primera instancia de relaciones trigonométricas
basadas en una semi-cuerda, como en trigonometría moderna, en lugar de una
cuerda completa, como en la trigonometría ptolemaica. Con una serie de
alteraciones y errores de traducción de por medio, las palabras
"seno" y "coseno" derivan del sánscrito "jiya" y
"kojiya".
El Suria-sidhanta (hacia
el año 400)
introdujo las funciones trigonométricas de seno, coseno y
arcoseno y estableció reglas para determinar las trayectorias de los astros que
son conformes con sus posiciones actuales en el cielo. Los ciclos cosmológicos
explicados en el texto, que eran una copia de trabajos anteriores,
correspondían a un año sideral medio de 365.2563627 días,
lo que solo es 1,4 segundos mayor que el valor aceptado actualmente de
365.25636305 días. Este trabajo fue traducido del árabe al latín durante
la Edad Media.
En el siglo
V d.C, Aryabhata escribe
el Aryabhatiya, un
delgado volumen concebido para complementar las reglas de cálculo utilizadas en
astronomía y en medida matemática. Escrito en verso, carece de rigor lógico o
metodología deductiva. Aunque casi la mitad de las entradas son
incorrectas, es en el Aryabhatiya en
donde el sistema decimal posicional aparece por vez primera. Siglos más tarde,
el matemático árabe Abu Rayhan
Birunidescribiría este tratado como "una mezcla de guijarros
ordinarios y cristales onerosos.
En el siglo
VII Brahmagupta identificó
el teorema de Brahmagupta, la identidad de Brahmagupta y la fórmula de Brahmagupta y, por primera
vez en Brahma-sphuta-siddhanta, explicó claramente
los dos usos del número 0:
como un símbolo para rellenar un hueco en el sistema posicional y como una cifra y explicó el sistema de numeración hindo-arábigo. Fue a raíz
de una traducción de este texto indio sobre matemáticas (hacia el 770) cuando
las matemáticas islámicas tuvieron acceso a este sistema de numeración, que
posteriormente adaptaron usando los numerales arábigos. Los estudiantes árabes
exportaron este conocimiento a Europa hacia el siglo XII y terminó
desplazando los sistemas de numeración anteriores en todo el mundo. En el
siglo X, un comentario de Halayudha sobre la obra de Pingala incluía
un estudio de la sucesión de Fibonacci y del triángulo de Pascal y describía la
formación de unamatriz.[cita requerida]
En el siglo
XII, Bhaskara II estudió
diversas áreas de las matemáticas. Sus trabajos se aproximan a la moderna
concepción deinfinitesimal, derivación, coeficiente diferencial y diferenciación.
También estableció el teorema de
Rolle (un caso especial del teorema del valor medio), estudió la ecuación de Pell[cita requerida] e
investigó la derivada de la función seno. Hasta qué punto sus aportes
anticiparon la invención del cálculo es fuente de controversias entre los
historiadores de las matemáticas.
Desde el
siglo XIV, Mádhava, fundador de la Escuela de
Kerala, encontró la llamada serie de Madhava-Leibniz y,
utilizando 21 términos, computó el valor del número π a
3,14159265359. Mádhava también encontró la serie de Madhava-Gregory para
el arcotangente, la serie de potencias Madhava-Newton para determinar el seno y
el coseno así como las aproximaciones de Taylor para las
funciones seno y coseno. En el siglo XVI, Jyesthadeva consolidó
muchos de los desarrollos y teoremas de la Escuela de Kerala en los Yukti-bhāṣā.Sin
ambargo, la Escuela no formuló una teoría sistemática de la derivada o
la integración, ni existe evidencia directa de que
sus resultados hayan sido transmitidos al exterior de Kerala.
Los progresos
en matemáticas así como en otras ciencias se estancaron en la India a partir de
la conquista
musulmana de la India.
Matemática Islámica (hacia 800 – 1500)
El imperio
islámico, establecido a lo largo del Oriente Medio, Asia Central, África del Norte,Iberia, y parte de la India, hizo aportes significativos en
matemáticas en el siglo octavo. Aunque la mayor parte de los textos islámicos
sobre matemáticas fueron escritos en árabe,
no todos fueron escritos por árabes,
dado que, así como el griego era usado en el mundo helenístico, el árabe era
usado como el lenguaje escrito de los intelectuales no árabes a lo largo del
mundo islámico en aquella época. Junto con los árabes, muchos otros importantes
matemáticos islámicos fueron persas.
En el siglo IX, Al-Juarismi escribió varios libros importantes sobre los números arábigos y sobre
los métodos de resolución de ecuaciones. Su libro Sobre los cálculos con números arábigos, escrito
alrededor del año 825, junto con el trabajo de Al-Kindi,
fueron instrumentos para dar a conocer las matemáticas árabes y los números
arábigos en Occidente. La palabra algoritmo se deriva de la latinización de su nombre, Algoritmi, y la palabra álgebradel título de uno de sus trabajos, Al-Kitāb
al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala(Compendio de
cálculo por compleción y comparación). Al-Juarismi a menudo es apodado
"el padre del álgebra", por sus importantes contribuciones a este
campo. Aportó una meticulosa explicación a la solución de ecuaciones
de segundo grado con raíces positivas, y fue el primero en enseñar
el álgebra en sus formas más elementales.43También
introdujo el método fundamental de "reducción" y "balance",
refiriéndose a la colocación de los términos restados al otro lado de una
ecuación, es decir, la cancelación de términos iguales que se encuentran en
lados opuestos de una ecuación. Esta operación fue descrita originariamente por
Al-Jarismi como al-jabr. Su
álgebra no solo consistía "en una serie de problemas sin resolver, sino en una exposición que comienza con las condiciones primitivas que se deben dar en todos
los prototipos de ecuaciones posibles mediante una serie de combinaciones, a
partir de este momento serán objeto de estudio."
El posterior
desarrollo del álgebra vino de la mano de Al-Karaji.
En su tratado al-Fakhri extiende la metodología para incorporar potencias y raíces de cantidades
desconocidas. La primera demostración por inducción matemática de la que se tiene constancia aparece en un libro escrito por Al-Karaji
en el 1000 d.C., en el que demuestra el teorema del binomio, el triángulo de Pascal, y la suma de cubos integrales.
El historiador de las matemáticas, F. Woepcke,46 elogió a Al-Karaji por haber sido "el primero en introducir lateoría del cálculo algebraico."
También en el siglo X Abul Wafa tradujo las obras de Diofanto al árabe y desarrolló la función tangente.Ibn
al-Haytham fue el primer
matemático en deducir la fórmula de la suma de las ecuaciones cuárticas, usando un método que
puede generalizarse para determinar la fórmula general de la suma de cualquier
potencia entera. Desarrolló una integración para calcular el volumen de un paraboloide y fue capaz de generalizar sus resultados para las integrales de polinomios de más de cuarto grado. Incluso se acercó bastante a la fórmula general
de la integral de polinomios, aunque no estaba interesado en polinomios de grado mayor
que cuatro.
En las
postrimerías del siglo XI, Omar Khayyam escribió Discusiones sobre
las dificultades en Euclides, un libro sobre los defectos en los Elementos de Euclides, especialmente el postulado de las paralelas, y estableció
los fundamentos de la geometría analítica y lageometría no euclídea. También fue el
primero en encontrar la solución geométrica a la ecuación cúbica e influyó en la reforma del calendario.
Matemática en Occidente
Durante la Edad
Media las aplicaciones del álgebra al comercio, y el dominio de los números,
lleva al uso corriente de los números
irracionales, una
costumbre que es luego transmitida a Europa. También se aceptan las soluciones
negativas a ciertos problemas, cantidades imaginarias y ecuaciones de grado
tres.
Matemática medieval en Europa
El desarrollo de
las matemáticas durante la edad media es frecuentemente motivada por la
creencia en un «orden natural»; Boecio las sitúa dentro del currículo, en el siglo VI,
al acuñar el término Quadrivium para el estudio metódico de la aritmética, la geometría, la astronomía y
la música; en su De institutione
arithmetica, una
traducción de Nicómaco,
entre otros trabajos que constituyeron la base de la matemática hasta que se
recuperaron los trabajos matemáticos griegos y árabes.
Renacimiento
europeo
Durante el siglo
XII, particularmente en Italia y en España, se traducen textos árabes y se
redescubren los griegos. Toledo se vuelve un centro cultural y de traducciones; los escolares europeos
viajan a España y a Sicilia en busca de literatura científica árabe incluyendo
el Compendio de
cálculo por compleción y comparación de al-Khwārizmī,
y la versión completa de los Elementos de Euclides, traducida a varios idiomas porAdelardo de
Bath, Herman de Carinthia, y Gerardo de Cremona.
El crecimiento
económico y comercial que conoce Europa, con la abertura de nuevas rutas hacia
el oriente musulmán, permite también a muchos mercaderes familiarizarse con las
técnicas transmitidas por los árabes. Las nuevas fuentes dan un impulso a las
matemáticas. Fibonacci escribe su Liber Abaci en 1202, reeditado en 1254,
produce el primer avance significativo en matemática en Europa con la
introducción del sistema de numeración indio: los números arábigos (sistema de notación decimal, posicional y con uso común del cero). En teoría enseñada
en el Quadrivium,
pero también destinada a la práctica comercial. Esta enseñanza se transmite en
las botteghe d'abbaco o «escuelas de ábacos», en donde los maestri enseñaban la aritmética, la geometría y los métodos calculatorios a los
futuros comerciantes, a través de problemas recreativos, conocidos gracias a
«tratados de álgebra» que estos maestros han dejado. Aunque el
álgebra y la contabilidad corren por senderos separados, para cálculos complejos que
involucraninterés compuesto, un buen dominio de la
Aritmética es altamente valorado.
Hay un fuerte
desarrollo en el área de las matemáticas en el siglo XIV, como la
dinámica del movimiento. Thomas Bradwardinepropone que la velocidad se
incrementa en proporción aritmética como la razón de la fuerza a la resistencia
se incrementa en proporción geométrica, y muestra sus resultados con una serie
de ejemplos específicos, pues el logaritmo aún no había sido concebido; su
análisis es un ejemplo de cómo se transfirió la técnica matemática utilizada
por al-Kindi y Arnau de Vilanova.
Los matemáticos de
esta época (tales como los calculatores de Merton College,
de Oxford), al no poseer los conceptos del cálculo diferencial o de límite matemático, desarrollan ideas
alternativas como por ejemplo: medir la velocidad instantánea como la
"trayectoria que habría seguido [un cuerpo] si... hubiese sido
movido uniformemente con un mismo grado de velocidad con el que es movido en
ese instante dado"; o bien: determinar
la distancia cubierta por un cuerpo bajo movimiento uniforme acelerado (hoy en
día resuelto con métodos de integración).
Este grupo, compuesto por Thomas Bradwardine, William Heytesbury, Richard
Swineshead y John Dumbleton, tiene como principal éxito la elaboración del teorema de la velocidad media que más tarde, usando un lenguaje cinemático y simplificado, compondría
la base de la "ley de la caída de los cuerpos", de Galileo.
Nicolás
Oresme en la Universidad de París y el italiano Giovanni di Casali,
proveyeron -independientemente- una demostración gráfica de esta relación.57 En un comentario posterior a los Elementos, Oresme realiza
un análisis más detallado en el cual prueba que todo cuerpo adquiere, por cada
incremento sucesivo de tiempo, un incremento de una cualidad que crece como los
números impares. Utilizando el resultado de Euclides que la suma de los números
impares son los cuadrados, deduce que la cualidad total adquirida por el
cuerpo, se incrementará conforme el cuadrado del tiempo.59
Luca Pacioli escribe "Summa de
Arithmetica, Geometría, Proportioni et Proportionalità"(Venecia, 1494),
en donde se incluyen tratados de contabilidad y ecritura; si bien estaba
dirigido a mercaderes o aprendices de mercaderes, también contenía acertijos y
rompecabezas matemáticos.60 En Summa Arithmetica, Pacioli
introduce símbolos por primera vez en un libro impreso, lo que luego se
convirtió en una notación convencional. También es el primer libro conocido de álgebra (mucho del contenido es plagiado de Piero della Francesca).
Durante la primera
mitad del siglo XVI, Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia descubren las soluciones complejas de las ecuaciones cúbicas, trabajando en la resolución de ecuaciones. Retomado por
Tartaglia y publicado por Cardan, encuentran una primera formulación junto con
Bombelli. Gerolamo
Cardano publicará el Ars magna junto con un trabajo de su alumno Ferrari, quien resuelve las ecuaciones
de cuarto grado. En 1572 Rafael Bombelli publica su L'Algebra, en el que
muestra cómo utilizar las cantidades imaginarias que podrían aparecer en la
fórmula de Cardano para las ecuaciones de grado tres.
Hasta fines del
siglo XVI, la resolución de problemas matemáticos continúa siendo una cuestión
retórica. El cálculo simbólicoaparecerá
en 1591, con la publicación del Isagoge Artem Analycitem de François Viète y la introducción de notaciones específicas para las constantes y las
variables (trabajo popularizado y mejorado por Harriot, Fermat y Descartes, cambiará por completo el trabajo
algebraico desarrollado en Europa).
La Revolución Científica de los siglos XVII y XVIII
Las matemáticas se
inclinan sobre aspectos físicos y técnicos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz crean el cálculo infinitesimal, con lo que se
inaugura la era del Análisis Matemático, la derivada, la
integración y las ecuaciones diferenciales.
El universo
matemático de comienzos del siglo XVIII está dominado por la figura deLeonhard
Euler y por sus aportes tanto sobre funciones matemáticas como teoría de números, mientras que Joseph-Louis Lagrange alumbra la segunda mitad del siglo.
El siglo
precedente había visto la puesta en escena del cálculo infinitesimal, lo que abría la vía
al desarrollo de una nueva disciplina matemática: el análisis algebraico, en el
que, a las operaciones clásicas del álgebra, se añaden la diferenciación y la
integración. El cálculo infinitesimal se aplica tanto en la física (mecánica, mecánica celeste, óptica, cuerdas vibrantes) como en
geometría (estudio de curvas y superficies). Leonhard Euler, en Calculi différentialis (1755) y en Institutiones
calculi integralis (1770), intenta
establecer las reglas de utilización de los infinitos pequeños y desarrolla
métodos de integración y de resolución de ecuaciones diferenciales. También se
destacan los matemáticos Jean le Rond d'Alembert y Joseph-Louis Lagrange. En 1797, Sylvestre François Lacroix publica Traité du calcul
différentiel et intégral que es una
síntesis de los trabajos del Análisis del siglo XVIII. La familia Bernoulli contribuye al desarrollo de la resolución de las ecuaciones
diferenciales.
La función matemática se vuelve un objeto de estudio a parte entera. Matemáticos de la talla
de Brook Taylor, James Stirling, Euler,Maclaurin o Lagrange, la utilizan en problemas de optimización; se la desarrolla
en series enteras o asintóticas pero sin preocuparse de su convergencia.
Leonhard Euler elabora una clasificación de funciones. Se intenta aplicarla a
los reales negativos o complejos. Elteorema fundamental del álgebra (existencia de raíces eventualmente complejas a todo polinomio) que
tenía forma de conjetura desde hacia dos siglos, es revalorizado en la
utilización de la descomposición en elementos simples, necesario
para el cálculo integral. Sucesivamente, Euler (1749) y Lagrange (1771),
intentan demostraciones algebraicas pero se enfrentan a la parte trascendente
del problema (todo polinomio de grado impar sobre R posee una raíz real), que
necesitará de la utilización de un teorema de valores intermedios.
La demostración de
D'Alembert publicada en 1746 en los anales de la academia de Berlín, es la más
completa pero contiene aún algunas lagunas y pasajes obscuros. Gauss, en 1799,
que critica a D'Alembert sobre estos puntos, no está exento de los mismos
reproches. Hay que hacer intervenir en un momento un resultado fuerte del
Análisis que el siglo aún no conoce. Además, este obstáculo se sitúa en la
cuestión de los puntos de bifurcación: es una cuestión ya debatida en la
polémica sobre los logaritmos y los números negativos a la que pondrá fin Euler.
La segunda y tercera demostración de Gauss no adolecen de estas carencias, pero
ya no se inscriben dentro del mismo siglo.
En aritmética,
Euler demuestra el pequeño teorema de Fermat y da una versión extendida a los números compuestos (1736-1760).
Matemática moderna
Siglo XIX
La historia
matemática del siglo XIX es inmensamente rica y fecunda. Demasiado como para
ser abarcada en su totalidad dentro de la talla razonable de este artículo;
aquí se presentan los puntos sobresalientes de los trabajos llevados a cabo
durante este período.
Numerosas teorías
nuevas aparecen y se completan trabajos comenzados anteriormente. Domina la
cuestión del rigor, como se
manifiesta en el «análisis matemático» con los trabajos de Cauchy y la suma de
series (la cual reaparece a propósito de la geometría), teoría de funciones y
particularmente sobre las bases del cálculo diferencial e integral al punto de
desplazar las nociones deinfinitamente pequeño que habían tenido notable éxito el siglo pasado. Más aún, el siglo marca
el fin del amateurismo matemático: las matemáticas eran consideradas hasta
entonces como obra de algunos particulares, en este siglo, se convierten en
profesiones de vanguardia. El número de profesionales no deja de crecer y las
matemáticas adquieren una importancia nunca antes vista. Las aplicaciones se
desarrollan rápidamente en amplios dominios, haciendo creer que la ciencia todo
lo puede; algunos sucesos así parecen atestiguarlo, como el descubrimiento de
un nuevo planeta únicamente por el cálculo, o la explicación de la creación del
sistema solar. El dominio de la física, ciencia experimental por excelencia, se
ve completamente invadido por las matemáticas: el calor, la electricidad, el
magnetismo, la mecánica de fluidos, la resistencia de materiales y la
elasticidad, la cinética química,... son todas metamatemática
Durante el siglo
XIX las matemáticas se vuelven más abstractas. El trabajo revolucionario de Carl Friedrich Gauss (1777–1855) enmatemática pura, incluye la primera prueba
satisfactoria del «teorema fundamental de la aritmética»
y de la «ley de reciprocidad cuadrática»,
además de numerosas contribuciones en función
matemática, variable compleja, geometría, convergencia de series, ...
En este siglo se
desarrollan dos formas de geometría no euclidiana, en las que el postulado de las paralelas de la geometría euclídeaya no es válido. El
matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky y su rival, el matemático húngaro János Bolyai, independientemente definen y
estudian la geometría hiperbólica. La geometría elíptica fue desarrollada más tarde por el matemático alemán Bernhard Riemann, quien también introduce el
concepto de variedad (matemática) (y la hoy llamada Geometría de Riemann).
En álgebra abstracta, Hermann Grassmann da una primera versión de espacio
vectorial. George Boole divisa un álgebra que utiliza únicamente los números 0 y 1, la hoy
conocida como Álgebra de Boole, que es el punto
de partida de la lógica matemática y que tiene importantes aplicaciones en ciencias de la computación.
Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann y Karl Weierstrass reformularon el cálculo de manera más rigurosa.
Siglo XX
El siglo XX ve a
las matemáticas convertirse en una profesión mayor. Cada año, se gradúan miles
de doctores, y las salidas laborales se encuentran tanto en la enseñanza como
en la industria. Los tres grandes teoremas dominantes son: los Teoremas de incompletitud de Gödel;
la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura, que implica
la demostración del último teorema de Fermat; la demostración de las conjeturas de Weil por Pierre
Deligne. Muchas de las nuevas disciplinas que se desarrollan o nacen
son una continuación de los trabajos de Poincaré, las probabilidades,
la topología,
la geometría diferencial, la lógica, lageometría algebraica, los trabajos de Grothendieck, entre otras.
En un discurso en
1900 frente al Congreso Internacional de Matemáticos, David Hilbertpropuso una lista de 23 problemas matemáticos. Esta lista, que
toca varias áreas de las matemáticas, fue un foco central para muchos
matemáticos del siglo XX. A la fecha (2011), 10 han sido resueltos, 7
parcialmente resueltos y 2 siguen abiertos; los 4 restantes están formulados de
manera muy vaga para decidir si han sido resueltos o no.
Muchas conjeturas
notables fueron finalmente probadas. En 1976, Wolfgang Haken yKenneth Appel usaron una computadora para demostrar el teorema de los cuatro colores.Andrew Wiles,
basado en trabajos previos de otros matemáticos, probó el último teorema de Fermat en 1995. Paul Cohen y Kurt Gödel probaron que la hipótesis del continuo eslógicamente independiente de (no puede ser probada o negada de) los axiomas de la teoría de conjuntos. En 1998 Thomas Callister Hales probó la conjetura de Kepler.
Colaboraciones
matemáticas de tamaño y dimensiónes imprecedentes toman lugar. Un ejemplo es la clasificación de grupos finitos
simples (también llamada
el "teorema enorme"), para cuya demostración, entre 1955 y 1983, se
requirieron 500 artículos de alrededor de 100 autores, llenando miles de
páginas. Un grupo de matemáticos franceses, incluyendo Jean Dieudonné y André Weil,
publican bajo el pseudónimo «Nicolás
Bourbaki», con intención de exponer la totalidad del conocimiento
matemático como un todo riguroso coherente. El resultado de varias docenas de
volúmenes, reunidos en Elementos de matemática, ha tenido una
influencia controversial en la educación matemática.64
La geometría diferencial se convirtió en objeto de estudio como tal cuando Einstein la utiliza en la relatividad general. Áreas enteramente nuevas
de la matemática como la lógica matemática, la topología y la teoría de juegos de John von
Neumann, cambian el tipo de preguntas a las cuales se podía dar respuesta
con métodos matemáticos. Todo tipo de estructura fue reducido a un grupo de axiomas abstracto, y se les dio nombres como espacio métrico, espacio topológico, etc. Estos conceptos, a su
vez fueron abstraídos hacia una teoría de categorías, como se suele ser el
caso en matemáticas. Grothendieck y Serre relanzan la geometría algebraicautilizando teoría de haces. Grandes avances fueron hechos
en el estudio cualitativo de la teoría de sistemas
dinámicos que Poincaréhabía comenzado en los 1890's. La teoría de la medida fue desarrollada en los tardíos 1900´s y comienzos del siglo XX. Las
aplicaciones de la medida incluyen la integral de Lebesgue, la axiomatización de Kolmogorov de la teoría de la probabilidad, y la teoría ergódica. La teoría de nudos también se amplió. La mecánica cuántica llevó al desarrollo del análisis funcional. Otras nuevas áreas incluyen
la teoría de distribuciones de Laurent
Schwartz, los teoremas de punto fijo, la teoría de la singularidad y la teoría de las catástrofes de René Thom,
la teoría de modelos y los fractales de Mandelbrot. La teoría de Lie, constituida por
los grupos de Lie y lasálgebras de Lie se volvieron áreas de gran interés.
La invención y el
continuo progreso de las computadoras, al comienzo máquinas mecánicas
analógicas y después máquinas electrónicas, permitieron trabajar con cantidades
cada vez más grandes de datos, y surgieron áreas como por ejemplo la teoría de la computabilidad de Alan Turing;
la teoría de la complejidad computacional;
la teoría de la información de Claude
Shannon; elprocesamiento de señales; el análisis de datos; la optimización y otras áreas de investigación de operaciones. En los
siglos precedentes, muchos de los focos matemáticos estaban puestos en el
cálculo y las funciones continuas, pero el surgimiento de la computación y la
tecnología de las comunicaciones llevan a una importancia creciente los
conceptos de las matemáticas discretas y la expansión de la combinatoria,
incluyendo la teoría de grafos. La velocidad y procesamiento
de datos de las computadoras también les permitieron encargarse de problemas
matemáticos que consumirían demasiado tiempo con cálculos hechos con papel y
lápiz, llevando a áreas como el análisis numérico y el cálculo formal. Algunos de
los métodos y algoritmos más importantes del siglo XX han sido: el algoritmo simple, la transformada rápida de Fourier,
la corrección de errores hacia adelante,
el Filtro de Kalman de la teoría de control y el algoritmo RSA de la criptografía asimétrica.
